Bestämma intervall: derivera bråk
Växande och avtagande funktioner
Ofta kallar man också detta för funktionens största minsta värde. För att bestämma en funktions absoluta max. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter. Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. Exempel 6 I den första figuren saknar funktionen såväl globalt maximum som globalt minimum. I den andra figuren saknar funktionen globalt minimum. I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen. Andraderivatan Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande.
Bestämma intervall:
Växande och avtagande funktioner
Derivatan är mycket användbar när vi ska studera funktioner och de tillhörande grafernas utseende. Punkter där derivatan är lika med noll, så kallade stationära punkter, sägs både vara växande och avtagande. Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här. En funktion som är växande eller avtagande i hela sin definitionsmängd kallas monoton. Exempelvis är alla exponentialfunktioner monotona. Exempel 1 Ange det intervall där funktionen är avtagande. Lösning Funktionen är avtagande i det slutna intervallen där derivatan är negativ. Derivatan är negativ i de punkter där tangentens lutning är negativ. Vi markera dessa områden i grafen med rött. Exempel 2 Ange det intervall där funktionen är växande. Lösning Funktionen är växande i de intervallen där derivatan är positiv. Derivatan är positiv i de punkter där tangentens lutning är positiv. Vi markera dessa områden i grafen med blått. När vi talar och växande och avtagande funktioner göra vi det alltid, per definition, över ett intervall.
Strängt växande funktion
Vad är en Ändringskvot? Till hjälp för att beräkna detta använder man en sekant som är en rät linje som skär kurvan i minst två punkter. Man har bestämt att sekantens lutning motsvarar kurvans medellutning i intervallet. Värdet stämmer alltså inte exakt med förändringen i varje punkt i intervallet, men ger ett medelvärde. Ett mindre intervall ger oftast ett värde på ändringskvoten som stämmer bättre överens med kurvans faktiska förändring. Vi ska kunna bestämma ändringskvoten, numeriskt, grafisk och analytiskt. För det sist nämda ska vi introducera derivatan. Vi beskriver numerisk ändringskvot utifrån ett exempel. Det än den som beskrivit här ovan. Men ofta ger alltså dess metoder ett sämre värde för den faktiska ändringskvoten. För att bestämma ändringskvoten kan du även använde grafen och läsa av punkter för att beräkna ändringskvoten. Tangentens lutning ger ett närmevärde till derivatan. Genom att läsa av två punkter på tangenten bestämmer vi dess lutning.
Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter
Vi väljer för enkelhetens skull att studera två andragradsfunktioner. Vi ser att tangenterna ligger över grafen, då benämnes grafen konkav. Konvex graf I figuren nedan ser vi en andragradsfunktion med positiv parabel. Kännetecknande för en sådan är att koefficienten framför x2 termen är positiv. På så sätt får funktionen en global minimipunkt i intervallet. Vi ser att tangenterna ligger under grafen, då benämnes grafen konvex. För att hålla reda på om grafen är konvex eller konkav kan vi dra sekanter längs grafen. Där sekanten hamnar under grafen, är grafen konkav. Där sekanten hamnar över grafen, är grafen konvex. Vi noterar också att funktionen har en s k inflexionspunkt där grafen övergår från att vara konkav till att bli konvex. Då funktionen övergår från att vara konkav till att bli konvex i inflexionspunkten, så byter också andraderivatan tecken från att vara negativ till att bli positiv. Viktigt att notera! Då får vi studera teckenväxlingen vid den tänkta inflexionspunkten och även studera grafens utseende.